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对用定义证明函数单调性过程中一个细节的纠正
作者:网站采编关键词:
摘要：在《必修1》复合函数单调性的证明过程中,经常会出现利用内层函数的单调性直接过渡到证明复合函数单调性的问题,但在《必修1》的范围内,这个细节按逻辑的角度是错误的.下面给出在
在《必修1》复合函数单调性的证明过程中,经常会出现利用内层函数的单调性直接过渡到证明复合函数单调性的问题,但在《必修1》的范围内,这个细节按逻辑的角度是错误的.下面给出在某地高一期末联合考试中典型的一个错例.
例1求证：函数在(－∞,＋∞)上单调递增.
证明设x1,x2∈(－∞,＋∞),且x1＜x2,则
即f(x2)＞f(x1),所以函数在(－∞,＋∞)上单调递增.
分析在步骤②中,不等式“2x2－2x1＞0”是由指数函数y＝2x的单调性推出的,但如果中间过渡中,都能按这种方式转化的话,许多函数单调性的证明就显得多余.比如证明：函数在(0,＋∞)上单调递减.按例题的逻辑,这个题目单调性的证明过程中,作差后不必通分,直接由反比例函数(x＞0)的单调性即可判断出差的符号.这个例子比较简单,所以容易看出,这种证明就是典型的“循环论证”,也就是不能用的单调性证明这个函数的单调性!
对步骤①、②修正如下：
例2求证：函数在(1,＋∞)上单调递增.
证明设x1,x2∈(1,＋∞),且x1＜x2,则
因为x1,x2∈(1,＋∞),且x1＜x2,所以
进而得
即f(x2)＞f(x1)＞0,所以函数在(1,＋∞)上单调递增.
除了指数式和对数式结构的函数以外,下面再列举三类作差以后需要进一步变形的式子.
1)多项式类：需要分解彻底或配方.
例如：
2)分式类：通分后分子、分母变形与多项式类似.
3)根式类：需要分子有理化.
在《必修1》复合函数单调性的证明过程中,经常会出现利用内层函数的单调性直接过渡到证明复合函数单调性的问题,但在《必修1》的范围内,这个细节按逻辑的角度是错误的.下面给出在某地高一期末联合考试中典型的一个错例.例1求证：函数在(－∞,＋∞)上单调递增.证明设x1,x2∈(－∞,＋∞),且x1＜x2,则即f(x2)＞f(x1),所以函数在(－∞,＋∞)上单调递增.分析在步骤②中,不等式“2x2－2x1＞0”是由指数函数y＝2x的单调性推出的,但如果中间过渡中,都能按这种方式转化的话,许多函数单调性的证明就显得多余.比如证明：函数在(0,＋∞)上单调递减.按例题的逻辑,这个题目单调性的证明过程中,作差后不必通分,直接由反比例函数(x＞0)的单调性即可判断出差的符号.这个例子比较简单,所以容易看出,这种证明就是典型的“循环论证”,也就是不能用的单调性证明这个函数的单调性!对步骤①、②修正如下：例2求证：函数在(1,＋∞)上单调递增.证明设x1,x2∈(1,＋∞),且x1＜x2,则因为x1,x2∈(1,＋∞),且x1＜x2,所以进而得即f(x2)＞f(x1)＞0,所以函数在(1,＋∞)上单调递增.除了指数式和对数式结构的函数以外,下面再列举三类作差以后需要进一步变形的式子.1)多项式类：需要分解彻底或配方.例如：2)分式类：通分后分子、分母变形与多项式类似.3)根式类：需要分子有理化.
文章来源：《世界复合医学》 网址: http://www.sjfhyx.cn/qikandaodu/2021/0218/642.html
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