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复合方程实数根问题的处理策略
作者:网站采编关键词:
摘要：复合方程通常是将两个由基本初等函数构成的方程进行复合所得的方程.在求解相关问题时,如果直接对复合方程展开,方程会变得异常复杂,只有从复合的角度抓住复合前的两个方程加以处
复合方程通常是将两个由基本初等函数构成的方程进行复合所得的方程.在求解相关问题时,如果直接对复合方程展开,方程会变得异常复杂,只有从复合的角度抓住复合前的两个方程加以处理较为简便. 为了方便表述,本文中将构成复合方程的两个方程分别称为“内方程”和“外方程”.下面以一道同解方程相关问题为例阐述复合方程的常用处理手段.
题目已知两个函数f(x)=cx(1-x),g(x)=x3-cx2+cx,c为常数,方程f(x)=0与g(f(x))=0为同解方程,求c的取值范围.
解由g(x)=x(x2-cx+c),得g(f(x))=f(x)[f2(x)-cf(x)+c],故方程g(f(x))=0由一个一元二次方程和一个一元三次方程组合而成,且f(x)=0的根显然都是g(f(x))=0的根.
当c=0时,由g(f(x))=f3(x),可得g(f(x))=0的根都是f(x)=0的根,故c=0，满足题设.
当c≠0时,由f(x)=0与g(f(x))=0为同解方程,得g(f(x))=0的根都是f(x)=0的根.由于命题“若f(x)=0,则f2(x)-cf(x)+c≠0”为真命题,得逆否命题“若f2(x)-cf(x)+c=0,则f(x)≠0”亦为真命题,因此,f(x)=0与g(f(x))=0为同解方程等价于方程
f2(x)-cf(x)+c=0
无解.
下面对方程① 无解从三个角度来研究.
方法1 从关于f(x)的一元二次方程是否有实根的角度分类讨论,对有实根时直接求出实根,得到新的关于x的方程应当无解.
当Δ=c2-4c<0,即0
当Δ≥0,即c<0或c≥4时,由方程① 知方程① 无解等价于无解,即无解.于是,
解得
综上,c的取值范围为
方法2 通过换元，由方程①得到一个外方程t2-ct+c=0及内方程t=-cx2+cx,结合外方程解出的实根与内方程数形结合处理问题.
令f(x)=t,则f2(x)-cf(x)+c=0变为t2-ct+c=0.将得到的外方程t2-ct+c=0和内方程t=-cx2+cx组合,方程① 无解即无解.
当Δ=c2-4c<0,即0
当Δ≥0,即c<0或c≥4时,显然t1
(i)当c≥4时,由的图象是开口向下的抛物线,且最大值为要使无解,只需即解得.
(ii)当c<0时,由的图象是开口向上的抛物线,且最小值为要使无解,只需即此不等式无解.
综上,
方法3 在方法2的基础上将所得到的内、外方程从根的分布的角度迅速处理.
方程① 无解即无解.
若c>0,则由方程① 无解，可知方程无解,故解得
若c<0,由同理可知t2-ct+c=0在无解,故此不等式在c<0时无解,舍去.
综上,
以上三种方法是处理复合方程的常用方法,它们依次层层递进,越来越简洁地对复合方程加以处理,逐步褪去复合方程神秘的外衣.本题虽然是一道以多项式方程为背景的复合方程,但是对于其它初等函数构成的复合方程处理也基本可以借鉴.
复合方程通常是将两个由基本初等函数构成的方程进行复合所得的方程.在求解相关问题时,如果直接对复合方程展开,方程会变得异常复杂,只有从复合的角度抓住复合前的两个方程加以处理较为简便. 为了方便表述,本文中将构成复合方程的两个方程分别称为“内方程”和“外方程”.下面以一道同解方程相关问题为例阐述复合方程的常用处理手段.题目已知两个函数f(x)=cx(1-x),g(x)=x3-cx2+cx,c为常数,方程f(x)=0与g(f(x))=0为同解方程,求c的取值范围.解由g(x)=x(x2-cx+c),得g(f(x))=f(x)[f2(x)-cf(x)+c],故方程g(f(x))=0由一个一元二次方程和一个一元三次方程组合而成,且f(x)=0的根显然都是g(f(x))=0的根.当c=0时,由g(f(x))=f3(x),可得g(f(x))=0的根都是f(x)=0的根,故c=0，满足题设.当c≠0时,由f(x)=0与g(f(x))=0为同解方程,得g(f(x))=0的根都是f(x)=0的根.由于命题“若f(x)=0,则f2(x)-cf(x)+c≠0”为真命题,得逆否命题“若f2(x)-cf(x)+c=0,则f(x)≠0”亦为真命题,因此,f(x)=0与g(f(x))=0为同解方程等价于方程f2(x)-cf(x)+c=0①无解.下面对方程① 无解从三个角度来研究.方法1 从关于f(x)的一元二次方程是否有实根的角度分类讨论,对有实根时直接求出实根,得到新的关于x的方程应当无解.当Δ=c2-4c<0,即0<c<4时,方程① 无解.当Δ≥0,即c<0或c≥4时,由方程① 知方程① 无解等价于无解,即无解.于是,解得综上,c的取值范围为方法2 通过换元，由方程①得到一个外方程t2-ct+c=0及内方程t=-cx2+cx,结合外方程解出的实根与内方程数形结合处理问题.令f(x)=t,则f2(x)-cf(x)+c=0变为t2-ct+c=0.将得到的外方程t2-ct+c=0和内方程t=-cx2+cx组合,方程① 无解即无解.当Δ=c2-4c<0,即0<c<4时,方程① 显然无解;当Δ≥0,即c<0或c≥4时,显然t1<t2.(i)当c≥4时,由的图象是开口向下的抛物线,且最大值为要使无解,只需即解得.(ii)当c<0时,由的图象是开口向上的抛物线,且最小值为要使无解,只需即此不等式无解.综上,方法3 在方法2的基础上将所得到的内、外方程从根的分布的角度迅速处理.方程① 无解即无解.若c>0,则由方程① 无解，可知方程无解,故解得若c<0,由同理可知t2-ct+c=0在无解,故此不等式在c<0时无解,舍去.综上,以上三种方法是处理复合方程的常用方法,它们依次层层递进,越来越简洁地对复合方程加以处理,逐步褪去复合方程神秘的外衣.本题虽然是一道以多项式方程为背景的复合方程,但是对于其它初等函数构成的复合方程处理也基本可以借鉴.
文章来源：《世界复合医学》 网址: http://www.sjfhyx.cn/qikandaodu/2021/0218/643.html
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